معادله ی برنولی | هوافضای جوان

معادله ی برنولی

پایستگی انرژی:

“انرژی نه به وجود می یاد، نه از بین می ره، بلکه از شکلی به شکلِ دیگه تبدیل می شه”

این جمله، قانون پایستگیِ انرژیه. با این قانون خیلی از اتفاقاتِ اطرافمون رو می تونیم توجیه کنیم. مثلا شما می دونید چرا وقتی توپی رو از ارتفاعی بدون سرعت اولیه رها می کنیم در لحظه ی رسیدن به زمین، سرعت داره؟ زمین به خاطر جاذبش می خواد همه چیز رو به سمت خودش جذب کنه. وقتی شما توپ رو تا ارتفاعی بالا می برید در واقع دارید انرژی صرف می کنید تا به نیروی جاذبه غلبه کنید. این انرژی که بهش انرژیِ پتانسیل می گن، در توپ ذخیره می شه. این انرژِی با جرم(m) و تغییر ارتفاع جسم (h) متناسبه:

انرژی پتانسیل=m*g*h

 

وقتی شما توپ رو رها می کنید، زمین توپ رو به سمت خودش می کشه و ارتفاع توپ کم می شه و به دنبال اون انرژی پتانسیل کم می شه، اما بنا بر قانون پایستگی انرژی این انرژی نباید از بین بره، بلکه باید به شکل دیگه ای تبدیل بشه. به این شکل جدید انرژی، انرژیِ جنبشی می گن. هرچقدر انرژی جنبشی جسم بیشتر باشه، سرعتش بیشتره. انرژی جنبشی با جرم جسم و سرعت(V) اون متناسبه:

m*v^2/2=انرژی جنبشی

فرض کنید دو تا ظرفِ حاوی آب (به رنگ هایِ قرمز و آبی) روی گاز قرار دارن. شعله ی زیر ظرف آبی خاموش و شعله ی زیر ظرف قرمز روشنه. به صورت شهودی می تونیم بگیم که ظرفی که آب توش گرم شده، انرژیش بیشتره. اما نه ارتفاعش بیشتره و نه سرعتش! پس چی باعث می شه که انرژیش بیشتر باشه؟ شکل دیگه ای از انرژی وجود داره که به اون انرژی درونی می گن. این شکل از انرژی در واقع به خاطر حرکت مولکول های یک ماده به وجود می یاد. در مثالی که ما داریم بررسیش می کنیم با افزایش دمای آب، حرکت مولکول ها بیشتر شده و در نتیجه انرژی افزایش پیدا می کنه. افزایش انرژی درونی، و در واقع افزایش حرکت مولکول ها، خودش رو به صورت های مختلفی نشون می ده، مثلا توی این مثال افزایش انرژیِ درونی خودش رو به صورت افزایش دمای جسم نشون داده، اما ممکنه به صورت های دیگه ای هم خودش رو نشون بده مثلا افزایش فشار. یکی از رابطه هایی که با کمک اون می تونیم انرژی درونی رو محاسبه کنیم به صورت زیره:

p*v=انرژی درونی

که v نشون دهنده ی حجم سیاله.

حالا می تونیم قانون پایستگی انرژی یک سیال رو به زبان ریاضی بنویسم، وقتی از بیرون به یک سیال انرژی ندیم، مجموعِ انرژی های درونی، جنبشی و پتانسیلِ اون ثابته.

m*v^2/2+m*g*h+p*v=ثابت

معادله ی برنولی

برای فهمیدن ادامه ی مطلب باید سری به قرن ۱۸ ام میلادی بزنیم. دانشمند بزرگی به نام دانیل برنولی تو این قرن زندگی می کرد. دانیل به خاطر علاقه ی زیادی که به علم ریاضی و فیزیک داشت و همینطور پشتکارش تونست، معادله ای رو به نام خودش ثبت کنه.البته روندی که ما می خوایم با کمک اون معادله ی برنولی رو به دست بیاریم، مشابه روندِ این دانشمند نیست، اما به ما کمک می کنه که مطلب رو بهتر درک کنیم.

همونطور که می دونید به حاصلِ تقسیم جرم به حجم، چگالی یا جرم حجمی می گن:

می دونیم که جرم یک مقدار مشخص از ماده با تغییر شرایطش(تغییر دما، فشار و…)تغییر نمی کنه؛ حالا اگه فرض کنیم که چگالی گاز یا مایع ثابته( بعدا می بینیم که این فرض همیشه درست نیست) در نتیجه حجم اون هم ثابته. پس می تونیم دو طرف معادله ی قانون دوم نیوتن رو به حجم تقسیم کنیم و معادله ی زیر رو به دست بیاریم:

ثابت=d*v^2/2+d*g*h+p

به این معادله، معادله ی برنولی می گن. d در این معادله نشون دهنده ی چگالیه.

فرض کنید با مسئله ای سروکار داریم که تغییراتِ ارتفاع در اون ناچیزه در نتیجه معادله ی بالا به معادله ی زیر تبدیل می شه:

ثابت=d*v^2/2+p

با کمی دقت در این معادله می فهمیم که فشار و سرعت تو همچین شرایطی با هم رابطه ی عکس دارند، یعنی وقتی سرعت کم می شه، فشار باید زیاد بشه تا مجموعِ دو قسمت معادله ثابت بمونه و بالعکس. این نکته کلیدِ اصلیِ فهمیدنِ دلیل پرواز هواپیماهاست. پس سعی کنید این نکته رو یاد بگیرید تا تو درس نیروی لیفتِ ازش استفاده کنیم.

با آزمایش های خیلی ساده می شه اثر معادله ی برنولی رو درک کرد. فیلم زیر نمونه ای از این آزمایش ها رو نشون می ده. دلیل جذب دوتا بادکنک اینه که با فوت کردن، سرعت هوا زیاد شده، طبق برنولی فشار کم تر از فشارِ اتمسفر شده و در نتیجه هوای پرفشار بادکنک ها رو به سمت ناحیه ی کم فشار هول می ده.

 

خوبه که با سه جمله ی این معادله بیشتر آشنا بشیم:

فشار استاتیک:مولکول های هوای اطرافِ ما به خاطر حرکت تصادفیشون در هر لحظه بارها و بارها به ما برخورد می کنن و بهمون نیرو وارد می کنن؛ که اگه این نیرو رو به سطح برخورد تقسیم کنیم، فشاری که در هر لحظه بهمون وارد می شه به دست می یاد. این فشار با افزایش ارتفاع کم می شه. چون این فشار در همه جهات به طور یکسان به ما وارد می شه، ما اونو احساس نمی کنیم(مثل وقتی که به جعبه ای از دو طرف به اندازه ی یکسان نیرو وارد می کنیم و جعبه حرکتی نمی کنه.)

این فشار در واقع همون فشار استاتیک و قسمت اوله معادله ی برنولیه.

فشار دینامیکی:قسمت دوم معادله ی برنولی، انرژیِ جنبشی بر واحد حجمه. چون واحدِ این قسمت، همون واحدِ فشاره (یعنی نیوتن بر متر مربع) و در جاهای مختلفی هم کاربرد داره، اسمی رو برای اون انتخاب کردن و بهش فشار دینامیکی می گن.

انرژی پتانسیل بر واحد حجم:جمله ی آخر هم که همون انرژیِ پتانسیله که بالا راجع بهش توضیح داده شده فقط بر حجم تقسیم شده. در مسائل آیرودینامیکی معمولا مقدار این جمله کمه و ازش صرفنظر می شه.

حالا که دو نوع فشار رو توضیح دادیم، خوبه که نوعِ دیگری از فشار رو هم همینجا توضیح بدیم:

فشار کل یا فشار سکون: اگه سرعت یه سیالی رو به صورت فرضی به صفر برسونیم، فشاری که به دست می یاد، فشارِ کل یا فشارِ سکونه. حالا اگه واقعا سرعت سیال صفر بشه، فشار استاتیک برابر فشار سکونِ سیال می شه. برای درک بهتر این موضوع، شیر آب رو در حدی که آب به صورت قطره قطره از اون خارج بشه، باز کنید. دستتون رو به خروجی شیر آب بچسبونید، احتمالا فشار زیادی احساس خواهید کرد، دلیل این اتفاق اینه که آب در نقطه ی ۱ دارای فشارِ p1 و سرعتِ V1 ست، اما در نقطه ی ۲ یعنی خروجیِ شیر، سرعت آب بعد از برخورد با دست شما صفر می شه و آب دارای فشار p2می شه. معادله ی برنولی رو بین این دو نقطه می نویسیم:

همونطوری که از معادله پیداست، p2بزرگتر از p1ست و در واقع فشار استاتیکی در این نقطه از سیال با فشار کل برابر شده.

با توجه به معادله ی برنولی می تونیم بگیم که، جمع فشار استاتیک و فشار دینامیکی در هر نقطه برابر با فشار کله و در واقع نشون دهنده ی انرژیِ کلِ جسمه.

 

کاربرد معادله ی برنولی در هواپیما:

Pitot_probe_on_Global_6000_(2)

شکل (۱)

شکل(۱) یه لوله پیتوت واقعی رو نشون می ده که روی هواپیما نصب شده، وظیفه ی لوله پیتوت اندازه گیری فشار در نقاط مختلفه تا با کمک اختلافِ اونها بتونیم سرعت هواپیما رو به دست بیاریم. شکل (۲) یه تصویر شماتیکه برای اینکه ببینیم لوله پیتوت چطوری هر کدوم از فشار ها رو اندازه می گیره.

1

شکل (۲)

 

همونطور که تو شکل (۲) می بینید، در نقطه ی ۱ سیال داره از روی روزنه رد می شه، یعنی سرعتش موازی با سطح روزنه ست پس اگه یه فشار سنج در نقطه ی آ قرار بدیم، فشاری که حس می کنه فقط ناشی از حرکت تصادفی مولکول هاست پس عددی که نشون می ده، فشار استاتیکه.

حالا به نقطه ی ۲ توجه کنید. وقتی سیال وارد لوله شده و به انتهای لوله می رسه، جایی نداره که بره پس ساکن می شه، و بعد از مدتی سرعت تمام سیال موجود در لوله( در فاصله ی نقطه ی ۲ تا انتهای لوله ) صفر می شه، درست مثل آدمهایی که دارن توی یه صف پشت سرهم می دون و وقتی نفر اول به خاطر وجود یه مانع بایسته همه به اون برخورد می کنن و سرعتشون صفر می شه.

حالا اگه یه فشار سنج بالای نقطه ی ۲ بذاریم، با توجه به تعریفِ فشارها، عددی که خونده می شه، فشارِ استاتیکیِ که برابرست با فشار کل. با محاسبه ی اختلاف دوتا عدد به دست اومده و با کمک فرمول (۱) سرعت هوا به دست می یاد. البته تو هواپیما این محاسبات به وسیله ی سنسورها انجام می شن و خروجی به صورت یک عدد در اختیار خلبان قرار می گیره.


پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

لطفا معادله امنیتی را وارد کنید. * Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.